JUEGOS

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PROBLEMAS TIPOS ICFES

1: Si el área de la figura es 84cm², entonces el valor de x en cm es: 




A. 6
B. 7
C. 12
D. 24   

2 :De las siguientes proposiciones.

I Para todo θ, sen(θ ) = sen(−θ )
II Para todo θ, cos(θ ) = cos(−θ )
III Existen valores de θ para los cuales senθ = cosθ
IV Para todo θ , cos 2θ = 2cosθ
V Existen valores de θ para los cuales senθ = 1 o 2

Es correcto afirmar que:
A. son verdaderas II, III y V
B. la única falsa es la IV
C. son verdaderas I y IV y V
D. la única falsa es la III

3: Si un poliedro tiene 12 caras y 30 aristas, ¿cuál es su número de vértices?

A. 18

B. 20

C. 36

D. 42

4: Para determinar el uniforme de un equipo de fútbol se debe elegir entre 3 colores de 

medias, 2 colores de pantaloneta y 4 colores de camiseta. Todas las combinaciones de 

medias, pantalonetas y camisetas son posibles.

¿Cuál es la expresión que permite calcular el número de posibilidades distintas que 

hay de escoger el uniforme?

A. 3 + 2 + 4

B. 3 x 2 x 4

C. 3 x 4 + 2

D. (3 + 2) x 4

5:Don Rodrigo fue a la tienda a comprar ocho kilos y medio de arroz. Solamente encontró 

bolsas de 3 kilos, 1 kilo y ½ kilo.

Él lleva exactamente la cantidad de arroz que necesita, si compra

A. 2 bolsas de 3 kilos, 1 bolsa de 1 kilo y 1 bolsa de ½ kilo.

B. 1 bolsa de 3 kilos, 4 bolsas de 1 kilo y 5 bolsas de ½ kilo.

C. 2 bolsas de 3 kilos, 2 bolsas de 1 kilo y 1 bolsa de ½ kilo.

D. 1 bolsa de 3 kilos, 5 bolsas de 1 kilo y 3 bolsas de ½ kilo.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: 
1.Relación seno coseno 
 cos² α + sen² α = 1                       
2 Relacion de sacante tangente
= sec² α = 1 + tg² α      
3.Relación cosecante cotangente 
= cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplo:

1. Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

TEOREMA DE COSENO

TEOREMA DE COSENO 
Es un triangulo el cuadrado de cada lado es igual es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del angulo que forman 

Ejemplo 

APORTES A LA TRIGONOMÉTRICA

PITAGORAS : Filósofo y matemático griego. Iniciador de la filosofía idealista. Según Pitágoras, los números constituyen la sustancia de las cosas, ya que cada cosa guarda una relación numérica que la distingue de las demás. Una de sus tantas aportaciones a la geometría es el teorema que lleva su nombre, y el cual trata de lo siguiente:El teorema dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, c²=a²+b². A continuación se da una pequeña demostración de este teorema:

HIPARCO DE NICEA : La trigonométrica es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos 

 RHETICUS : En 1542 Rheticus publicó un tratado de trigonometría escrito por Copérnico (incluido después en el segundo libro de "Acerca de las revoluciones". 

Finalmente y con la ayuda de Tiedemann Giese, obispo of Chełmno (Kulm), Rheticus logró que Copérnico accediera a entregar su libro para que fuera impreso por Johannes Petreius en Núremberg.

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BIOGRAFIA DE RHETICUS

(Georg Joachim von Lauchen, Feldkirch, 1514-Kosice, 1576) Matemático y astrónomo alemán. Relacionó por primera vez las funciones trigonométricas con los ángulos (en vez de con los arcos) y elaboró una de las mejores tablas trigonométricas de su época. Nombrado en 1536 profesor de astronomía en la Universidad de Wittemberg, fue uno de los primeros seguidores de la hipótesis copernicana y discípulo de N. Copérnico, a quien convenció para que publicase su famosa obra De revolutionibus orbium caelestium(1543).

BIOGRAFIA DE HIPARCO DE NICEA

(?, h. 127 a.C.-Rodas, actual Grecia, ?) Astrónomo y geógrafo griego. Llevó a cabo sus observaciones en Rodas, donde construyó un observatorio, y en Alejandría. El año 127 a.C. es citado habitualmente como la última fecha conocida de sus trabajos; sin embargo, el astrónomo francés Jean Delambre (1749-1822) demostró que algunas de las observaciones de Hiparco sobre la estrella Eta Canis Majoris tuvieron que ser realizadas en una fecha posterior.
Comparó la posición de las estrellas de su tiempo con los resultados obtenidos siglo y medio antes por Timocharis, y calculó que la diferencia era mayor de lo que cabría esperar de posibles errores en la medición (concretamente, de 45 segundos de arco en un año, valor muy próximo a los 50,27 segundos aceptados actualmente), y dedujo que tal diferencia no era debida al movimiento de (?, h. 127 a.C.-Rodas, actual Grecia, ?) Astrónomo y geógrafo griego. Llevó a cabo sus observaciones en Rodas, donde construyó un observatorio, y en Alejandría. El año 127 a.C. es citado habitualmente como la última fecha conocida de sus trabajos; sin embargo, el astrónomo francés Jean Delambre (1749-1822) demostró que algunas de las observaciones de Hiparco sobre la estrella Eta Canis Majoris.

Ninguno de sus estudios ha llegado hasta nuestros días, pero tenemos noticia de ellos gracias a los escritos de Estrabón y de Tolomeo. En el 134 a.C. observó una nueva estrella en la constelación de Escorpión; estimulado por el descubrimiento, elaboró un catálogo de alrededor de 850 estrellas, clasificadas según su luminosidad de acuerdo con un sistema de seis magnitudes de brillo, similar a los actuales.

las estrellas, sino al movimiento o precesión de este a oeste del punto equinoccial (es decir, el punto de intersección de la eclíptica con el ecuador celeste). Precisó el período del año solar en 365 días y 6 horas.

Se sabe poco acerca de los instrumentos que utilizaba para sus observaciones, aunque Tolomeo le atribuye la invención de un teodolito que mejoró la medición de los ángulos. En el campo de la geografía destacan sus trabajos sobre trigonometría esférica, gracias a los cuales le fue posible precisar la localización de puntos en la superficie terrestre por medio de su latitud y longitud.

BIOGRAFÍA DE PITAGORAS

(isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.

Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.

Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.

La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.

La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».

También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.

TEOREMA DE SENO

TEOREMA DE SENO

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue: